Bài 1: phương pháp xét số dư:
a) Tìm n thuộc số tự nhiên để \(A=3^n+63⋮72\)
b) C/m: Với mọi m, n nguyên thì \(mn.\left(m^2-n^2\right).\left(m^2+n^2\right)⋮30\)
Bài 1: Phương pháp xét số dư.
a) \(n\in N|A=3^n+63⋮72\)
b) Với mọi m,n thuộc Z thì \(mn\left(m^2-n^2\right)\left(m^2+n^2\right)⋮30\)
Bài 2: Phương phấp phân tích đa thức thành nhân tử:
a) \(16^n-15^n-1⋮225\)
b) \(3^{3n+3}-26^n-27⋮169\)
c) \(mn\left(m^4-n^4\right)⋮30\)
Đề:Cho m,n là các số nguyên dương với \(n>1\).Đặt \(P=m^2n^2-4m+4n\)
Chứng minh rằng nếu P là số chính phương thì m=n
Giả sử \(m>n>1\)
Xét \(\left(mn^2-2\right)^2-n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)\)
\(=m^2n^4-4mn^2+4-mn^4+4mn^2-4n^3\)
\(=-4n^3+4< 0\) với \(\forall n>1\)
\(\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4n+4n\right)\left(1\right)\)
Xét \(n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)-m^2n^4\)
\(=m^2n^4-4mn^2+4n^3-m^2n^4\)
\(=-4mn^2+4n^3\)
\(=-4n^2\left(m-n\right)< 0\) với \(\forall m>n>1\)
\(\Rightarrow n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)< m^2n^4\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)< m^2n^4\)
\(\Rightarrow\left(\frac{mn^2-2}{n}\right)^2< P< \left(mn\right)^2\)
Xét \(\frac{mn^2-2}{n}-\left(mn-1\right)=\frac{n-2}{n}\ge0\) với \(\forall n\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{mn^2-2}{n}\ge mn-1\)
\(\Rightarrow\left(mn-1\right)^2< P< \left(mn\right)^2\left(VL\right)\)
Kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp thì không tồn tại số chính phương nào.OK?
Giả sử \(m< n\)
\(\Rightarrow P>m^2n^2\left(3\right)\)
Xét \(m^2n^2-4m+4n-\left(mn+2\right)^2\)
\(=m^2n^2-4m+4n-m^2n^2-4mn-4\)
\(=n-m-mn-1=n\left(1-m\right)-m-1< 0\)
\(\Rightarrow P< \left(mn+2\right)^2\left(4\right)\)
Từ \(\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow\left(mn\right)^2< P< \left(mn+2\right)^2\)
Để P là số chính phương thì \(P=\left(mn+1\right)^2\)
\(\Rightarrow m^2n^2-4m+4n=m^2n^2+2mn+1\)
\(\Rightarrow-4m+4n-2mn=1\) quá VL
Với \(m=n\Rightarrow P=m^2n^2=\left(mn\right)^2\left(Lscp\right)\) cực kỳ HL:v
P/S:Ko chắc đâu nha.m thử làm bài 1 cấy.t cụng ra rồi nhưng coi cách m cho nó chắc:v Định dùng cách kẹp khác mà đề cho chặt quá:((
\(A\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-1\right)+4\)(1)
\(A\left(x\right)=P\left(x\right)\left(x-3\right)+14\)(2)
\(A\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)T\left(x\right)+F\left(x\right)\)(3)
Đặt : \(F\left(x\right)=ax+b\)
Với x=1 từ (1) và (3)
\(\hept{\begin{cases}A\left(1\right)=4\\A\left(1\right)=a+b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a+b=4\)(*)
Với x=3 từ (3) và (2)
\(\hept{\begin{cases}A\left(3\right)=14\\A\left(3\right)=3a+b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow3a+b=14\)(**)
Từ (*) và (**)
\(\Rightarrow2a=10\Rightarrow a=5\Rightarrow b=-1\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=ax+b=5x-1\)
T lm r, ko bt có đúng ko:))
1)chứng ninh rằng
a)\(n\cdot\left(n^2+1\right)\cdot\left(n^2+4\right)\)chia hết cho 5
b)\(9\cdot10^n+18\)chia hết cho 27 với mọi n thuộc N
2)Nếu n không chia hết cho 4 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5
3)Tìm số tự nhiên n để \(3^n+63\)chia hết cho 72
chứng minh rằng, với mọi số nguyên m,n ta có :\(A=mn\left(m^2-n^2\right)\left(m^2+n^2\right)⋮5\)
Giúp mk với cần gấp nha
Chứng minh : Với mọi số nguyên m,n thì ta luôn có :
a) \(mn\left(m^2-n^2\right)⋮3\)
b) \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\)
tìm m và n để trong mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất:
a, \(y=\left(3n-1\right)\left(2m+3\right)x^2-\left(4m+3\right)x-5m^2+mn-1\)
b, \(y=\left(m^2-2mn+n^2\right)x^2-\left(3m+n\right)x-5\left(m-n\right)+1\)
c, \(y=\left(m-1\right)\left(n+3\right)x^2-2\left(m+1\right)\left(n-3\right)x-4mn+3\)
d, \(y=\left(2mn+2m-n-1\right)x^2+\left(mn+2m-3n-6\right)x+mn^2-2m+1\)
giúp mk vs m.n ơi!!!!! camon m.n nhìu nà!!! :)))
a/ Để hàm số này là hàm bậc nhất thì
\(\hept{\begin{cases}\left(3n-1\right)\left(2m+3\right)=0\\4m+3\ne0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=\frac{1}{3}\\m=\frac{-3}{2}\end{cases}}\)
Các câu còn lại làm tương tự nhé bạn
\(\orbr{\begin{cases}n=\frac{1}{3}va\:\:m\ne\frac{-3}{4}\\m=-\frac{2}{3}\end{cases}}\)
Mình nhầm sorry nhé
Tìm câu trả lời đúng
Câu 1 : Cho 2 số nguyên m và n ;
A.m.n=\(\left|m\right|.\left|n\right|\)với mọi m và n
B. m.n = \(\left|m\right|.\left|n\right|\)với m và n cùng dấu
C. m.n=\(\left|m\right|.\left|n\right|\)với mọi m và n trái dấu
D. m.n = \(\left|m\right|.\left|n\right|\)với mọi m và n cùng âm
Câu 2: Với a là số nguyên thì tổng M= \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)không phải số nguyên . Khẳng định trên là :
A. Đúng B. Sai
Câu 1 : A
Câu 2 : B
( vì có khi a = 0 thì ....... )
1) Tìm các số nguyên dương a và b sao cho \(a^2+5a+12=\left(a+2\right)b^2+\left(a^2+6a+8\right)b\)
2) Tìm các số nguyên m và n sao cho \(\left(m^2+n\right)\left(n^2+m\right)=\left(m-n\right)^3\)
3) Cho các số không âm a, b, c sao cho a + b + c = 3. Tìm GTNN của P = ab + bc + ca - \(\frac{1}{2}abc\)
Bài cuối có Max nữa nhé, cần thì ib mình làm cho.
Giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow c\le1< 2\Rightarrow2-c>0\)
Ta có:\(P=ab+bc+ca-\frac{1}{2}abc=\frac{ab}{2}\left(2-c\right)+bc+ca\ge0\)
Đẳng thức xảy ra tại \(a=3;b=0;c=0\) và các hoán vị
3/ \(P=\Sigma\frac{\left(3-a-b\right)\left(a-b\right)^2}{3}+\frac{5}{2}abc\ge0\)
Bài 1:
Cho phân thức: \(M=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2+\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}\)
a, tìm các giá trị của a, b, c để phân thức được xác định (tức là để mẫu khác 0)
b, Rút gọn M
Bài 2: Rút gọn:
\(A=\dfrac{\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3+\left(a-b\right)^3}{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}\)
Bài 3: CMR: với mọi số nguyên n thì phân số \(\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) là phân số tối giản
Bài 4: CMR: \(1+x+x^2+x^3+...+x^{31}=\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)\)
Mn giúp mik vs ạ :((
Bài 1:
a, Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2=0\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=0\)
Vậy điều kiện để phân thức M được xác định là a, b, c không đồng thời = 0
b, Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
Đặt: \(a^2+b^2+c^2=x,ab+bc+ca=y\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2=x+2y\)
Ta cũng có:
\(M=\dfrac{x\left(x+2y\right)+y^2}{x+2y-y}=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{x+y}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)
\(=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)